前言

这里收集了我头痛过却又无法独立成篇的数学小问题

整除相关

10进制下，数$x$各位数的和能被3整除，则$x$能被3整除

记$x$被表示为$abcde$，则其值$x=a\times 10^4+b\times 10^3+c\times 10^2+d\times 10^1+e\times10^0$

$$\begin{aligned}& x = (9999a+999b+99c+9d)+(a+b+c+d+e)\\& \because (9999a+999b+99c+9d)\text{能被3整除}\\& \therefore x\text{能被3整除的充要条件为}(a+b+c+d+e)\text{能被3整除} \end{aligned}$$

$n$个连续的自然数的乘积能被$n!$整除

证明：

$$\begin{aligned}\prod_{k=1}^{n}(m+k) &=\frac{(m+n) !}{m !} \\&=n ! \frac{(m+n) !}{m ! n !} \\&=n !\left(\begin{array}{c}m+n \\m\end{array}\right) \\&=\left(\begin{array}{c}m+n \\m\end{array}\right) \prod_{k=1}^{n} k\end{aligned}$$

勒让德(Legendre)定理

勒让德定理：$n!$的素因子分解中，素数$p$的最高指数$L_p(n!)=\sum\limits_{k\ge 1}\left\lfloor \frac{n}{p^k} \right\rfloor$

• 假设$p=5$，$[1,n]$中，能被$5$整除的数字有$\lfloor\frac{n}{5}\rfloor$个

  能被$p^2=25$整除的有$\lfloor\frac{n}{25}\rfloor$个......